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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 .yXx~hJ\O  
d'ELK9i"0  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 9^nGUogT  
D \)_4R`*  
　　1、三角函数本质： bL>=,Vo  
%<R9$lco  
　　三角函数的本质来源于定义 ~b?)( m  
M6;n~V825  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 GLoSL=r  
KlM[!D  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 { PQ:P  
9nr!c\<9  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 6dd8_-j  
>C7^h3Q9t  
　　推导： S3#[]D{  
vs{xsX~`AC  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 9T;3FmG  
+? >fB.a  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 0kzZLkO]H  
,jfE#KM j  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) eS-]=f8d(@  
Prr;*f=iA^  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 LtdV,-  
"8-&R\od  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） LYqDiiE"  
ku]<-h5\jv  
　　[1] 7"1tda  
Jl> rJt  
　　两角和公式 -Q$BXsI  
mO:CBO1  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB WrsJS,Yq  
O^k+]kjN>]  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Q s EM\)  
0Rlx7\?  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB k<r=j%i  
Xv]W{96+<  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB F<|>* y 0a  
( Ep=n  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) m3oM..  
08&|-d1{B  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) g%7o3"J9  
iA9C  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  OGR"XvO?e>  
!nq<D.B  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) J<U80jQ|  
rj`Bt,B\  
倍角公式 G& Cee 5-  
3+}H@|##  
　　Sin2A=2SinA•CosA '/mj&pM=Z  
w^u@oo+p/  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 GQ.G`(dU  
v%h_*4r`  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 2],93v/  
@XQNA4D  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） mPX%{2J  
eCrg1 o  
三倍角公式 K\Or;t3RL  
/ WIM0|  
　　 gsQV=+mW5  
yI|P?/  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) via&Gx7l&!  
>c92%N,tf  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) & 1~'Q  
.V] z@{  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)  6PX F5  
V3={E[9J  
三倍角公式推导 3a|@,0-Q  
`x4\l9{S1j  
　　sin3a l,PP+(V  
%T=qpp~  
　　=sin(2a+a) oKUCR~{  
(ogzt ~  
　　=sin2acosa+cos2asina eSD  Vl  
AjK!C0`W  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina cs?O;I  
}Sf_*D*  
　　=3sina-4sin³a 50+@o"XDv  
z4 EFKm/I  
　　cos3a Qz,([#.w  
i+~lB<;Q  
　　=cos(2a+a) |ky2Us]  
LbH)\  
　　=cos2acosa-sin2asina '+>nHGo  
@ t =#U  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa prM L7Rp-  
P:[bgMi  
　　=4cos³a-3cosa vr<+QR{  
 C!HQVPY  
　　sin3a=3sina-4sin³a ks?OY}  
@;&xIQ  
　　=4sina(3/4-sin²a) Lbc3z5(  
MAPUPf}]tN  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ?]G ^m  
sWl[-3*g,  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ;}Z;6Na4  
kWD_~A  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) m 3&k4<   
f[0th-v  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 2cnwTuYt4  
tzRO~pn  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) VyI'v $/  
ZJP1c2bC  
　　cos3a=4cos³a-3cosa  SF`  
rcCu(Pd  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 8w7;S"seV  
[k*G ;37  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 26+Q})bN  
xtd(g+KS9  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) b+u8B9ya  
|:hf)@A  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) tyNL~d  
+~a1c&r  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Sf^sy qX  
x8K9$) #]  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) G,.]0w$FD  
KF1w1.b  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =|Z;it  
u2e96}A  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] (.Su0oA  
~BiQbEN  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 8'Zp)%Yc  
-6e +Ti( J  
　　上述两式相比可得 QTeQs71*S  
\{5`c 3E  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) %:7*mmE+R  
318G($  
半角公式 ,DMhII  
4Fk,!'/1  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);  )RLu+ (}  
<tzW@<muJx  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. jT|s[{h  
Yg'~*'I%  
和差化积 Ij7+X*yipk  
J8<S0'O+Yv  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] WJF0FMmg  
NX*.|oBr  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #jet EF  
n U+&LU  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]  > {Oz"  
_*7vTdm+  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Pi. Ap$s8G  
P3< kX.9q  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Bo f`<;l]e  
o9A5uP&  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 1GtSMMyMv  
Q9?B=T  
积化和差 p4[.^hq&  
p4XrQBT5u  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] OW+) h.>  
Yl$Am23D  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] nD AI6atYL  
;^G(@y G  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] P^R>Dl2H  
aX/K"GVE`  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Xpd79AC$  
y~\yT8  
诱导公式 @ssjjBD` =  
' hV`~X_  
　　sin(-α) = -sinα Eur7Pe  
Rrte0Ym(r  
　　cos(-α) = cosα }-d)T9  
""u i4D  
　　sin(π/2-α) = cosα U)O}4YGE-3  
g{_I@\{v  
　　cos(π/2-α) = sinα QC_<+n0Yx  
a1|1Y mb5Q  
　　sin(π/2+α) = cosα {9y}SIG:  
9^JF ~hFV  
　　cos(π/2+α) = -sinα )&Yqwe=  
Z t\-C>R9l  
　　sin(π-α) = sinα 9?qDx9K  
|Xh [L  
　　cos(π-α) = -cosα [QB'!)hx  
c~jt.*,O  
　　sin(π+α) = -sinα duz7H3P  
FPkW,udB  
　　cos(π+α) = -cosα >S*L9_  
=(g&S,0pK&  
　　tanA= sinA/cosA  I'~T/r]  
X h]Vp'SW  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα tbv6on#  
V,.Q<i@y  
　　tan（π/2－α）＝cotα Fj%vIGt%%  
f*_aB cEc  
　　tan（π－α）＝－tanα oU,cO3@AX`  
KKDbp(\q  
　　tan（π＋α）＝tanα 4;F)0S:H(  
1-Wd[;p  
万能公式 jo\X5KsB0*  
i Enb  
　　 ;2Fx.  
cxLEYy,%)  
其它公式 BTo{`~ X  
z7M(>?  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 |G 76Xg  
)C'PZm6  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 HsytJ  
O*U k R`  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 *.dZ}hHX  
IH 5"P  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 v/@.^:q  
Mt;j^H  
　　对于任意非直角三角形,总有 dqQo>\  
Zjy\g~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC IhRd5x  
mVnFF148  
　　证: _{ "V #m  
C[JDbKu  
　　A+B=π-C t.&GFwL$D  
6cY,~B"zv  
　　tan(A+B)=tan(π-C) gSN@{aA  
Iwkhnov%d  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) M"m4AQ/4m  
q46Q p~v  
　　整理可得 3yFu`'o  
: e4tqv  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M(\O/dTa  
~w/Z:c\>ZZ  
　　得证 {Cy}-9  
'8|dF_  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 tJN8>qf  
%OJX2aV+  
其他非重点三角函数 -#q3xh  
[~{kJ>  
　　csc(a) = 1/sin(a) e:thvf`]  
& \ `D  
　　sec(a) = 1/cos(a) X txf@n+4  
p_ qB^WD  
　　 'fh%6toP5  
j_z]"p5B  
双曲函数 HecEG=  
6[:}  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ev7w#Oi'`  
Q^;61UYy  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 w-T91VHg  
nq >!>GC  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) >zvtzSpwzc  
7F+Rd}  
　　公式一： M:bz% !  
7r Sxx,K  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 9 FArl  
J[WrfRO  
　　sin（2kπ＋α）= sinα "n~sZ[XT  
pmiC*_bD[1  
　　cos（2kπ＋α）= cosα @_1pcD8  
hDv[ `c  
　　tan（kπ＋α）= tanα 'Rf Tot#  
PTc$J6J\  
　　cot（kπ＋α）= cotα lgmQ %\j<  
]j Zw!KY'  
　　公式二： 5Yxw ;lf(  
TI(Wr3!#0  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： |vnQS%V  
U8soV-eA  
　　sin（π＋α）= -sinα CP/*='H {  
`PN>M/m#<  
　　cos（π＋α）= -cosα vPwTJWn+  
.?Tt>oq/  
　　tan（π＋α）= tanα oSQVD.gDT  
ssi.8Vs=G  
　　cot（π＋α）= cotα u }~ qLSc  
; "^r?B h?  
　　公式三： U A_/;  
~;b)-PzK  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： [/U]b^'w  
<2|<w_vJ  
　　sin（-α）= -sinα Vc-WWrrp  
f UGXm; N  
　　cos（-α）= cosα sdaY;  
Npc9$wq  
　　tan（-α）= -tanα &;q(  
*wKO2u_  
　　cot（-α）= -cotα 6Kg9s oW  
s~(W2.jkm  
　　公式四： S1lH\uYD  
X#swt$@{<  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ;y&bT>;,Vt  
gVW~'ndnn  
　　sin（π-α）= sinα <!-U,Q&n!  
<tTs2E6 .  
　　cos（π-α）= -cosα "`GW@ (  
l?C4r0IT  
　　tan（π-α）= -tanα 'i><E1D]X  
W @v(&  
　　cot（π-α）= -cotα t;_e;"u5  
NFl&:{bt  
　　公式五： l]d@7n24*&  
+3qq|%L?  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： &y(O!qYr  
g: L1"  
　　sin（2π-α）= -sinα 8[ TBE'  
[ xT< 7  
　　cos（2π-α）= cosα @[_Zn  
3woyBsars  
　　tan（2π-α）= -tanα G@Y*!r~v  
e^k}~usl  
　　cot（2π-α）= -cotα QTJ u  
VBp 4mG q  
　　公式六： @=|3=R]  
[@I}],!ET  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 'qToVW+RPa  
~CH3jW_3  
　　sin（π/2+α）= cosα {l}GfqG k  
!L.OxS'  
　　cos（π/2+α）= -sinα (Di|9:M$A  
! k`F  
　　tan（π/2+α）= -cotα 5DanC>5?  
"r((X,k-   
　　cot（π/2+α）= -tanα -e (zd-5  
Ls zy'W  
　　sin（π/2-α）= cosα >QPNge^  
w :e,|O7  
　　cos（π/2-α）= sinα D,S{7Y.u  
Dhnz>*#G6  
　　tan（π/2-α）= cotα >"G4 [(g&  
.<sgjc;  
　　cot（π/2-α）= tanα L$|YId>  
h.QDni%[Is  
　　sin（3π/2+α）= -cosα @T)}OqlC  
.j> xbo  
　　cos（3π/2+α）= sinα \uJ,\n!  
cm*,P 5  
　　tan（3π/2+α）= -cotα O[qzd;  
)sj= V_ w  
　　cot（3π/2+α）= -tanα IA eLX  
OHADYeg  
　　sin（3π/2-α）= -cosα }_ FMf= C  
&pn@n"m  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 3Z>z7"{,  
J$;$~T>!  
　　tan（3π/2-α）= cotα sc o?a |  
ue`$C_  
　　cot（3π/2-α）= tanα ,`2g/P  
6F_\O=k[  
　　(以上k∈Z) :X>;N5LY  
 ~J)Y' }  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Ku4l$F<W  
G<=" yql  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = v8[h\+eZj  
Ei:~oRnk  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } HDISfUL  
kzm{GB|mu  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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