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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 y'V4h-l  
W(V*f~Sw1  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8M8Dh$_<  
`+tq<~8^  
　　1、三角函数本质： BcC7im)%.  
KB%95g8Lx  
　　三角函数的本质来源于定义 |exCxp<  
Z_N,9~]z  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 XR?M "4%  
?UHGASw  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 +'NOav!T:  
|- DgMotf  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 21q`&j f+  
:>(f/Ri|i  
　　推导： dG l w  
l^L6OB0a  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 p:m}9y  
sqW3VfY  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 4wDRKMet  
PJa9`>  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) f rs|r LJ  
2&Mj']  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 __}'_D.D?  
fje.ZkAgy  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） j3 ^  
r*hOvW<S  
　　[1] 8EjqsbHA  
cqf$CX=  
　　两角和公式 @RJJ+R+OOz  
^i,.V&| q  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB bQvhbAb  
`X@e03"O3  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  JT0ik?\V#  
tnmz5A;  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ~QI`]rI  
7f<bN  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB w1'0w|4e1D  
>bga`O  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,r,^^fO_kY  
`SAr8qp  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 2aYlBwShA  
i7D#um}hD  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  oNH\O&x?  
m}9&?f J  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) .V{zFI  
2wpz$qAu  
倍角公式 Vw"S'1~ !F  
h9rUsLBiow  
　　Sin2A=2SinA•CosA PW !}^?  
,j".n:(  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 4Nd/jX  
o##"#qlSU  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） P:|^ )  
LKDe.f  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 2W<lc#.  
(+C~ 1Hio  
三倍角公式 5(k QV  
*=.MQk,7  
　　 KwIhC?]Z P  
k!Gc aO{  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) @XxKer[  
`# sm+R%v  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) P.EI3rCzo<  
.s''mcV'  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 9d>U HXG~  
/3c+)*>yO  
三倍角公式推导 8 >xyVC  
dZ6 / =,]  
　　sin3a A$>oP9y  
f?e{@p3I  
　　=sin(2a+a) iODn  
Tk1X;vJ!B  
　　=sin2acosa+cos2asina jwIw[vi1@  
Z!'>xqM]C  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina vrN0'O!  
m2'DagYe  
　　=3sina-4sin³a 7 tMhZSg  
In`M3S}T  
　　cos3a OT8?R. 0  
n~A*-=s D  
　　=cos(2a+a) n]h2~/=  
iUcSZ?E%  
　　=cos2acosa-sin2asina 8"!H8n0RI  
dc8uSu"ean  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa E_evC  
GKRcx!z"  
　　=4cos³a-3cosa ojfU"KN  
Jz1N5TZM  
　　sin3a=3sina-4sin³a AX7M0{[` w  
~TNKr5T  
　　=4sina(3/4-sin²a) xcj`o/N")  
l>Wji Mj0  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ~}[0|$EB$  
9 x Xym-7  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) YtG,4?P  
E*3Qj<{LwX  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ~rRN34[  
U$0o5 '6MG  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 'JP2|uy  
p$[TBL &uF  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) emkliR"  
c}7a* OOj  
　　cos3a=4cos³a-3cosa &)AXJLYI]V  
(kAOiEz]!  
　　=4cosa(cos²a-3/4) N3%(V~F  
KUCxC|NW  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] jc?pPkzh  
u:Yg]GPP  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ~PGa\nv\M  
BuL; WY5{  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ;Dz7Z_>  
:34Sfza5N  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} P'[UFn=  
bkr{_T|k  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) enM A;H16  
 {Lbq=z  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] )f+t(D)5  
V^H_~K`  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 8Ay"Nv\n  
r}n5)7  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) sd2Zb=Nl  
MP N/^DT  
　　上述两式相比可得 ytETV*   
txe ks  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) QJxg:71U;  
tG<e'A,z+  
半角公式 "U61 Rjb  
Bp*'<H  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Fx=$ ,we[  
aP;93x#uO  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. m0ZbomntX  
 UD7JQ X  
和差化积 t BG(9sTC  
xryVZk6y]  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] t`RTUtbn  
8~uGX ^[  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] s] _ U  
AciP_[cAVk  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Vx@]Vy(  
 ew8bBd%  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] V@ r=e/  
GuzvT5TP  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <4eTp'(R;  
-bB Yt34~N  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $'eHBsg  
|Z&20(  
积化和差 !6.0}(zo  
U/1:D@g3f  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] M1 AS.gWC  
{44\HZk5El  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] h3H!~   
\Rh opiF  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 4yL5_bV  
m '-Le  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Q1-O*1  
m*p!?C*{{!  
诱导公式 iLR#Qo  
Cu /B&  
　　sin(-α) = -sinα iHWt<$"P|  
L /| oAG  
　　cos(-α) = cosα {z(r-NIc9f  
00~MmBRMc  
　　sin(π/2-α) = cosα v7f7n   
)x^!`^*  
　　cos(π/2-α) = sinα {Gs 2n  
<M6E}>i9  
　　sin(π/2+α) = cosα 7zr km0;  
swJmWTj_  
　　cos(π/2+α) = -sinα MBqMwH7  
SoIv  
　　sin(π-α) = sinα Ao] %;$Z/  
:FoeW`m  
　　cos(π-α) = -cosα n.s!Fdq  
bL niC#H  
　　sin(π+α) = -sinα 8ZWJ5 >NU  
nc#<{9a}  
　　cos(π+α) = -cosα 4^J ~>r2W  
V$~imH_  
　　tanA= sinA/cosA #6: i3Y-0  
aXE7$-l  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα +yO&#  
* 0f3bR\p  
　　tan（π/2－α）＝cotα ;B_6FXQK  
V4)]66!y  
　　tan（π－α）＝－tanα eH.%WNR_  
3rl&E2k  
　　tan（π＋α）＝tanα H>C {t<  
4ewtB  
万能公式 8Q$)K#r}v  
 GdF^ \  
　　  ZkvYGMzW  
LH+12 6  
其它公式 TJE`UI  
" |IM]q B  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 4[s#q^t#x  
88EXO<U1  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 h_g.1  
L>oa?EQ  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 1qyub>df  
apyARY>  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 _*0L;ke/  
_iaYMgU m  
　　对于任意非直角三角形,总有 wY '/X-Y  
LK(;- m5  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Y-/<b%I+  
*rK~^r-B|j  
　　证: &rkvfB~ zI  
p#*G=V  
　　A+B=π-C bbi&N4Mfh  
S`,.=%  
　　tan(A+B)=tan(π-C) \^i?z }w  
 vN,S,{  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) R'>~ ! #  
K&:_%u}S`&  
　　整理可得 mYnB{O be  
PDS 3v_>Fe  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 'uxURaYz1  
r__'"rY9  
　　得证 itg4 NL  
$N* '8  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 w6|^4%a  
ly[:4o/nq  
其他非重点三角函数 Q6E#[6CxH  
&;,wH  
　　csc(a) = 1/sin(a) H{ pCP"u  
{&,x,pu#))  
　　sec(a) = 1/cos(a) qZk,Pa6  
>X@;p<o/  
　　 E#`JaMj  
S Vb1t%Jk2  
双曲函数 n01ln0wI  
P^Z}CH "  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 9cO\b:K>IW  
0~0kbo>4'  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 VD"}bmI3  
l@hp=_p  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) pk`sV|U  
6<KZ_{  
　　公式一： p+ TYmfQ?  
0cYqb|?H  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： wNhdUgW:7  
%q*O'\{Mj%  
　　sin（2kπ＋α）= sinα :|bWn(+Yx  
-p8qjKu  
　　cos（2kπ＋α）= cosα MsT3bVM  
q Z (hy  
　　tan（kπ＋α）= tanα <bd+u')'  
LKKT@k.5W  
　　cot（kπ＋α）= cotα Bvr2$l I  
{Om"S\\u  
　　公式二： Q3PQ E ^  
!bh" (h%p  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： `xC:rpK(  
7rK>Cah  
　　sin（π＋α）= -sinα #\z/D3{c  
wmsa(- 3`  
　　cos（π＋α）= -cosα icbkpwQ8  
uBRJp2J])  
　　tan（π＋α）= tanα uvL!D4  
gkwONlc  
　　cot（π＋α）= cotα tm1-C=ls  
sDX>LmF#  
　　公式三： #DP S6qj  
qz4|^qe   
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Sxwg lp  
vm|\D<qT  
　　sin（-α）= -sinα P]CxB .91  
\>6zpCD  
　　cos（-α）= cosα ~n';* Hf  
oIY;Gw :  
　　tan（-α）= -tanα ]QN4  
7b&;txth  
　　cot（-α）= -cotα 4N9W.e  
bw)Bqv?/  
　　公式四： %>{]w /I  
G5}#?V  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： uP~'&AV  
 GY*t8U`  
　　sin（π-α）= sinα :Rzz$zG4  
PH/Xg;  
　　cos（π-α）= -cosα /7KAU%  
; JZ%,s  
　　tan（π-α）= -tanα zA{,2o,r  
<+%fEL\]"  
　　cot（π-α）= -cotα lDOd8`&c  
jWrhy'h  
　　公式五： Jl8Y('@Y<  
m;_*DY\  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Ca)@c5;  
HSw;%|  
　　sin（2π-α）= -sinα Whcy1n  
|2=d=B%>1  
　　cos（2π-α）= cosα L=CvX{bA  
H?N6 '   
　　tan（2π-α）= -tanα ;=?A2I  
uqX0`  
　　cot（2π-α）= -cotα \C>]po%P  
Oi[4Ax<K>  
　　公式六： 4PPU|]  
Z LDQ~  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ,T+'qC  
ai$w`'9!s  
　　sin（π/2+α）= cosα e!M+S"l  
fwG~G;?c*  
　　cos（π/2+α）= -sinα \x:$f_y  
1<{ ]  
　　tan（π/2+α）= -cotα `*{0i&Bx  
Qd [T %(  
　　cot（π/2+α）= -tanα ah; l~/ "  
7[L\8U  
　　sin（π/2-α）= cosα #(oD.Icm  
JbXL26VDk  
　　cos（π/2-α）= sinα @wN(g 2  
DZU1yd  
　　tan（π/2-α）= cotα $n=4TJn  
oA_x_N^  
　　cot（π/2-α）= tanα `=([?rO  
a oP9^O2`  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ~,2%AD  
4LhC&kh_  
　　cos（3π/2+α）= sinα I w$Dv) a  
}[219g{  
　　tan（3π/2+α）= -cotα `B38U 5y  
B sQDW\IO  
　　cot（3π/2+α）= -tanα pRXb -jl  
$c7* t2T`  
　　sin（3π/2-α）= -cosα -6LW[  
r~-[cVq  
　　cos（3π/2-α）= -sinα iO3Mgf+eC  
k=G |J)-,  
　　tan（3π/2-α）= cotα 0't u!=<  
{H1:6FVZ  
　　cot（3π/2-α）= tanα Ob(`VTqt  
Wfp+ -&d`  
　　(以上k∈Z) V?y?G^}jA  
j,Q)o||  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 :ZlD4x{  
)3ad*G"#(W  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = dr/dm  
$;k\STelx}  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } pX Jwqr$R  
] _u^-=;  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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