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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 6|e^Fa V  
\1 v1G`f  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. _9r &9d  
`yO&I\:8  
　　1、三角函数本质： m ]Qjx  
C8t_Ush+K  
　　三角函数的本质来源于定义 _-Iq<%*V  
ci/]T.w\~  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 U zfQ ! p  
HZ;\8V  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 c@.K-.3$  
AkDybS=z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： SCI;yoR&(  
&@R@l  
　　推导： zUr1gV&-M:  
M 2Iu9 *  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 /q"1L<[^g  
3PF  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  SA@j!L  
V*n{a</  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) =<n&U0rRPH  
~c ?jcSv  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 |Vz =P<  
E~IK"xH&y  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 90p[xhWU'  
!:[@sT`S  
　　[1] B:7];4e9  
Ivr'F]._  
　　两角和公式 o($.mfa:  
cBwQvHPw^  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB vH*$r D9  
Fah@v[0M<  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  >Vrv6  
!""FNdP  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB }[73PKQ;*  
JPxKP.SC  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB D->} V;  
%5>fjU  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) /Y@5=aR  
AQp~/mR  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) pF(7>^hD|  
E#28hML{y  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  [z zGPU  
3J5R_  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) X9~J:|rEo  
975tHZim0  
倍角公式 >b2idv V.  
tUoN =Af(  
　　Sin2A=2SinA•CosA d +,#VoPcm  
4wZq5)V  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 A6l@ekGi  
E(6PUh:j  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 1_*hKd/Zq[  
eN a[ 6aW  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） *iK e^  
bpjd*x}$Y  
三倍角公式 =E9!^unu  
]e}c>H::  
　　 pTbog7p  
EL=|vnN2D  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) QeeE4:{&  
7S?\/  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) M<(DG%Mzm  
g)v^8x2<in  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) `T<bE3L  
n#GXqf0!  
三倍角公式推导 Fq&gV8M  
h@wb)NmC"  
　　sin3a \t8R Eq  
6Wj-y  
　　=sin(2a+a) %^s-tA@}f  
$H~c2fg  
　　=sin2acosa+cos2asina _w?t?vWN  
fQ?#hm9/  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina y!JAbO0  
CNb4%<^C)  
　　=3sina-4sin³a s\C9l?  
 LY=#mM  
　　cos3a [>\n|W'  
*wGwr^4  
　　=cos(2a+a) |n@2jGV  
i_#,e78qD>  
　　=cos2acosa-sin2asina E@?r`>  
q!(2{;7.  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa v+|L>(?  
K-h\F_sU  
　　=4cos³a-3cosa ?3Ea..3C  
ps`Cn}.=  
　　sin3a=3sina-4sin³a 7b/kSqR  
 x_O1R/  
　　=4sina(3/4-sin²a) vLPAt;eP  
w3_~P -L2  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ;:~ Zl1  
]2HZx9rJ  
　　=4sina(sin²60°-sin²a)  EO"| )  
e%;@&4E  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 8_)v"]  
YEvld  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] T ;9dV$sb  
`V)>o ]  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) \P%X5e4;8  
+!\Mix~1W  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ]sN6 8"gI  
MIt!4s!B  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Jd R\[W~r  
Y!X_ _"  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] }~pl3kCo'l  
,XFLHO,a  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) a:W)H]A*-K  
wXuW2aM  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =.#TLT-k  
Q+P3DDt$gv  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} )4,aJ6nB  
#`jrQiA$L  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =1oz L! v  
4gW7g8 .l  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] E ^B;i  
\K L5@XOS  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ){t {Vdu  
{-Y?L"n+  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) *O>:6EAm6  
gThlxhc   
　　上述两式相比可得 )1$yrTB  
O<N^UzT$  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ">cwh$O9  
R4"};16~"y  
半角公式 ,X,"-  
%Oj]&E  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); HabN,  
OMTBLnb  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 6<rEZs=  
w%f9O]?  
和差化积 J0 * CE  
T`V]i/u  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jl#RglciA  
1%TB~Ey(  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 0W@d#H  
}*#+)iOa  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] IH@W<AQ  
j6@wj!m24  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] z6"2u[;  
d":FB]$  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) _XgoI,60  
w?dicw*  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $;CPcnU/  
a!QSiY`a;  
积化和差 AOeF  
b3[U$'J  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 1} @^We  
/u}5qC#2:  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] D%Tl'T 6w  
.N~Px"]  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] X+$[p,8ol  
)Gsk>sG  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] U/X  X_  
*(vq "6p  
诱导公式 [yP{Yj  
)w)Z;7T4o  
　　sin(-α) = -sinα jMv @^^W  
Y\nj- LI  
　　cos(-α) = cosα ju 2vx'P  
oHvb'L[  
　　sin(π/2-α) = cosα `s<CcM7 &  
N=$*$3W  
　　cos(π/2-α) = sinα {GC*s7W  
^ nbd@BS  
　　sin(π/2+α) = cosα !!V)8/  
3{2PV-,;  
　　cos(π/2+α) = -sinα Z!&4+QS  
eNZ2-tX  
　　sin(π-α) = sinα ".f&<" >y&  
JE" .\g  
　　cos(π-α) = -cosα C@H]{z=J  
$_AL!H"O  
　　sin(π+α) = -sinα @] D.i  
}DE;!S h  
　　cos(π+α) = -cosα 2)cQ pI>k  
@NBXG^   
　　tanA= sinA/cosA bo1=tkW  
Cw{L3C#5  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα [ b}P@  
;t"WndOpS  
　　tan（π/2－α）＝cotα Hvu98=  
5/wte#I+  
　　tan（π－α）＝－tanα x`Ab0\jaH  
 A&>` 5Rf  
　　tan（π＋α）＝tanα ?\W3[^p@?  
4pH q)'0tJ  
万能公式 ~ G?k9&{+  
]2{kQqV`U4  
　　 *h= ZQ,G  
f$q7@;  
其它公式 NB2R}zVO  
F:A`i5z  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 EXV/"kfW  
|-lx*1v/o  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 yC.MLV$  
m+}WnWdg  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 } O} z  
gq3b0*  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 go <kGh;  
jf. @,  
　　对于任意非直角三角形,总有 KPP_G]z$M  
ZsX/=@hb  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^b.=[q9{  
+b&%~ws   
　　证: {QGs#V[5N  
^.WL6?h  
　　A+B=π-C 01d>bnu  
9W"0j'k|$  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 9WQKP86Q  
`m7#E(  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Gw;3 [1P  
E{| {92  
　　整理可得 mrV4;KU-  
> {{E3:  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC G#)K1!} A  
X[/n 6._  
　　得证 1tJc+|4  
N. V,'V63  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 zj4#5{|C|i  
;A^q$h  
其他非重点三角函数 2.,[b~?]9  
<U4w#Z7   
　　csc(a) = 1/sin(a) g :c#~N;  
ZnL s:FO  
　　sec(a) = 1/cos(a) w15O2@  
WXg2W4n[  
　　 &_f<Z$/  
[|fRNuKw  
双曲函数 N:LlD Y=  
\ (+!pM/  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ! _ & 2  
K 7wW~s(0  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 660xa:: +  
=Dw)O(  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) kUvSDc  
&oS]T/0  
　　公式一： 2 3L]>[w  
9Id*.v  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： xjvV`tK$  
s[Q-5EJk  
　　sin（2kπ＋α）= sinα TX ,*-wO/  
OS^5/5xO  
　　cos（2kπ＋α）= cosα %hEWC9%h  
@: |mz|  
　　tan（kπ＋α）= tanα B0ZCSM !  
jCkU"BU8  
　　cot（kπ＋α）= cotα q.vzaZ<tj  
~T[vz;yw  
　　公式二： VVHqJ-Lcw  
r^G9H't  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： `ow?Qlrlj  
Sx ). ME{  
　　sin（π＋α）= -sinα MFdGi9wN%  
5mPcnO9MA  
　　cos（π＋α）= -cosα 38PAP@"^  
oT6PW!>  
　　tan（π＋α）= tanα p1'8Fv"aw  
QTa/8cIhr  
　　cot（π＋α）= cotα [5c+PLC  
f-5W A<n%  
　　公式三： fJq@(1U_tL  
]jO4C(nJ  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： X559r6@)U  
}~hc  
　　sin（-α）= -sinα 6/tX*<  
0F;z <+  
　　cos（-α）= cosα i18!%E<_`  
?@g/eW-/  
　　tan（-α）= -tanα 7~06;xXy  
 ~bI6Njf  
　　cot（-α）= -cotα pL50  
bOQ8B28#$  
　　公式四： Xr gD-udE  
8tu?@r  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 8fsyt[4g  
B-TgJs=21  
　　sin（π-α）= sinα raVav7_%  
)|-<_   
　　cos（π-α）= -cosα ] 0z @\5d  
AdF>b:x"  
　　tan（π-α）= -tanα Lgf`TUb>  
2O*pk0%  
　　cot（π-α）= -cotα *0Cq!d)*  
gq@ V}e1  
　　公式五： 8-e[_,Zu8  
No-YYf*;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： u_e77S\  
 UlH]S{q  
　　sin（2π-α）= -sinα hl[D)P _&  
km,vvv G  
　　cos（2π-α）= cosα r EQ;d[[  
=-65~m,8  
　　tan（2π-α）= -tanα }^b; s|  
Aa9 4  
　　cot（2π-α）= -cotα *t1)Q>+f k  
`"eLa\s  
　　公式六： QCj@bk  
.UOq[Fm  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： f5]@z_;M  
gdw&,Mn]T  
　　sin（π/2+α）= cosα U U-@F[  
2D$OIKDa  
　　cos（π/2+α）= -sinα D{ D_}a  
ZG7U FT+*  
　　tan（π/2+α）= -cotα 7mu6KM  
>Nlx{!"5  
　　cot（π/2+α）= -tanα 0sF <   
w CVV&  
　　sin（π/2-α）= cosα v.MRH=  
D|>JC |e  
　　cos（π/2-α）= sinα B~,TSr~y  
ar5mWAwF  
　　tan（π/2-α）= cotα 22}(a@O1]  
tiq_m8Pt  
　　cot（π/2-α）= tanα cY\;O6 Fc  
6Zu_m%cIk  
　　sin（3π/2+α）= -cosα |:AzuWmj@  
)rc"o4PV}  
　　cos（3π/2+α）= sinα tQh8j0  
f^@~3!l  
　　tan（3π/2+α）= -cotα &tRw9mY,B3  
`L=sAhBgw  
　　cot（3π/2+α）= -tanα $3@0b, +  
V! O+ =  
　　sin（3π/2-α）= -cosα K$>:`[  
8:2>Ajw/H  
　　cos（3π/2-α）= -sinα <@m&DW#  
<6+bX+a  
　　tan（3π/2-α）= cotα s=`A|i]x  
0{^4St7ec  
　　cot（3π/2-α）= tanα 3iC^u Vf  
)-2Dqt M}  
　　(以上k∈Z) ^`If5  
9PPoK7 z6  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 W} - }T`v  
4:cs"|";  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = w@X|&rC]  
B8FB~0YCd  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ":nU=/W$  
l* XE]"?7  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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