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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 id f@f c  
DBel[d  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. T8(7H*B~h<  
DXm.y]4  
　　1、三角函数本质： jg5BP:T2  
kMcfTA  
　　三角函数的本质来源于定义 w.A@O$U  
9eQ!&  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 GuwsQ$I@  
R He{@#q  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 U T4 SkL  
D>c-3s1!X  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： aP?Tna@[P  
kHGUfkg47L  
　　推导： hm%-.X  
MZ = Vz  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Qr2Km2  
% PKAt"  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) -#;o7""R9?  
XufZ/ $X^  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 04Gti^+ Hq  
&&b.NI  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 kDu'V2fi!u  
-RZ mnbqr  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） W>qI[Ii 5  
wYol_&UAV  
　　[1] r "eRv N"  
C^//3^zB  
　　两角和公式 `VI2Eg  
"c)?8`>f3B  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB y^FkA   
6p}% SH+S  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Qo&%3PJDo  
9ja:!b_  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB /rBNoV  
i6l^mVm  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB `|(U`g[  
GHDqX 2  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) JgsA=6~  
X!cU~B'@/  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) F\]_@"N+  
fxKV9_   
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  n> u F3\W  
K;W7%jmT'  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) F]q{{qt  
O2qu z5`  
倍角公式 3#]T`S%  
8Z-m\r. (  
　　Sin2A=2SinA•CosA lZX-gj|J  
\w*8n'S  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 |#_ 9*L$  
lF jrvG  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 5L _u_f>  
y = VR] N  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） HIK!9 E`  
BVt4K4d?Q  
三倍角公式 0@=FGf:bX  
wiH`({sr  
　　 fD. WzJ9a  
,UA9j|,  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) D'MB@xK  
lfT3_auj  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) DAD{r@-R  
x LH yf1q  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) >)&@ e<C  
`Ch}s#9H  
三倍角公式推导 lSN'x=p  
ex S *  
　　sin3a KuDXD.U?d  
:nHcpt'  
　　=sin(2a+a) `<9Z|J>B  
`N604G25M  
　　=sin2acosa+cos2asina +UJqxc"@k  
Syh>k5  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `A$CCsJHU  
CA]E6!bY  
　　=3sina-4sin³a U ?GW O&  
;W6x<e@qQZ  
　　cos3a RHz^X$8.F  
{}P C7b1o  
　　=cos(2a+a) QG``P= 5  
$6ot, oo{  
　　=cos2acosa-sin2asina v@: #b  
?-uj}C7} 1  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa f9LT :bL*  
T0{N5K:ZW  
　　=4cos³a-3cosa +7}z`6D+,  
9[&7Z?B  
　　sin3a=3sina-4sin³a 2ZC} M%bh  
bX$JLlp  
　　=4sina(3/4-sin²a) /|v39%%  
.I8INr-#m  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] .w#$o:7A  
r@M8";Ay  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) kS.*6M7  
$o&=F(vN!T  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) f$4|kr8/W  
LOA#_~{  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] E (nF w  
dr$?- C  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) -HWz?Ao  
<Qs{cs  
　　cos3a=4cos³a-3cosa TtOX|~]  
j_Qj%3ms  
　　=4cosa(cos²a-3/4) kACTZlrs  
Msq,3_-/&  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ~2Quc  
0!_g5g  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) zO$Kf  
5@mHR6  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) CGZ| N9N  
c>"{<3>  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Q$KULB  
E;ag u9  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =upC]fy  
hNDs%+E`(%  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] VI|Z @%]1  
wu 8uRV[u  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] XULxR-NS<  
p+\{6M(Q  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) !CA`:`o*  
Zv: 90RYZ  
　　上述两式相比可得 JkbrV eeV  
6=hU2qu  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ^jEG~lo  
/)1<_AHa  
半角公式 Cn`%Fls|W  
^^xxc-n'e  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); PA("{J7 k  
V9$m rk]O  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. #|,I,T?  
9F}potEWWw  
和差化积 uSg~}7o  
FRqn+ Hmw  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }HK7XxQ#r  
p>{619!{Q  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] %v8oKw  
rBoMbLOKO  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^\ `HP31  
zlc8 7BSh  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] *E+Giy  
J l>KE NWJ  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) %S0uW AkA  
93iT2VWFe  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 6*ABEY  
2 Ir}QJ4}`  
积化和差 ^dc1b>z  
>e @bg=  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] t/ZgEn>o0  
a&{shI  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 6R7QzO  
<rU$Fd^p  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] XSNTGG0R  
)7GWK(f  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] }np,0=RUD  
R ]:5aZ~y  
诱导公式 eB p u  
i7Z1O[q  
　　sin(-α) = -sinα W5#Jtd}  
Z~`Kr.4dq[  
　　cos(-α) = cosα FZ,43;At)E  
S|)%l?O  
　　sin(π/2-α) = cosα +Yp-7  
1_ 8 6qiY  
　　cos(π/2-α) = sinα p_;?dd'Ui0  
 n= !FH  
　　sin(π/2+α) = cosα /^ AA`Y  
n jgq9G'p  
　　cos(π/2+α) = -sinα kVHWaiyn ]  
lLU:hsxAq  
　　sin(π-α) = sinα q!G&c  
kE}I4hC\  
　　cos(π-α) = -cosα Nj9z7W:  
Q@Z PN1  
　　sin(π+α) = -sinα ~i[2ojL=  
>/@b4w6G  
　　cos(π+α) = -cosα c^'fpd`t*>  
>YV{`G`  
　　tanA= sinA/cosA wX9rzy=  
|n8<a=+4  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα +LBp#  
BY?#m~  
　　tan（π/2－α）＝cotα (6 `72K=:  
Cm^_ V `$  
　　tan（π－α）＝－tanα $Onr(VT  
iI`^~  
　　tan（π＋α）＝tanα  `|j+#?  
jK @]Np  
万能公式 ;d[.S5!  
7AK0"d(  
　　 .))z\S|  
+lT GS6K}  
其它公式 N-iEUq`  
z=Y'Mrp|>"  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 -YJDD  
uC:r8[t//[  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 2Xrm{wFWc  
M5&tn ,G@  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 _Q>d!K^:UL  
a^fQE x  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 =bAQi5J#  
ai]6N.P[^  
　　对于任意非直角三角形,总有 tT \ON9}  
Ud 48^)$-o  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC o$)r BJj{  
;4|yS t  
　　证: etGjR}wZi  
zJASko.r  
　　A+B=π-C 5k+@7D  
WNpS!_  
　　tan(A+B)=tan(π-C) VGp}V_$t<  
)iYh8sF6/  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) >4m LI#  
7VVv1d^++  
　　整理可得 .!2HO-ZD  
&`'%>y9q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC MUBo4DerK  
l&Z2=5jvc  
　　得证 0Nyfv+!)^  
c|&'Wi  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 W#{>0boO,  
pJc[8i\-.  
其他非重点三角函数 WYj,9U  
{{g CMH[0)  
　　csc(a) = 1/sin(a) ;?m W  
DX>rU'j  
　　sec(a) = 1/cos(a) UD[{.&!  
T>;P/  
　　 y3SIf  
\bOZ~3P  
双曲函数 gM$q9V4.  
xHJ}'Ttv  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ^2 Ad`QJ  
]%acF&;*$  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 "t7`do  
EVQ-cTSM  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) L VkR<  
oHZbgyw0  
　　公式一： qU, 1vbk  
}g8Y  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ! *2^7":  
B"'(nd`  
　　sin（2kπ＋α）= sinα GnY Os=S<m  
1:Lt;U  
　　cos（2kπ＋α）= cosα \Jhv8~:c  
KS=*\5c#.  
　　tan（kπ＋α）= tanα +j|mh'E  
"nq}A6 V  
　　cot（kπ＋α）= cotα I|}X T#(U  
YZ@c gc  
　　公式二： 20:L ]g1  
[5m4$W8F  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： |ZQet.^  
X6W'wBtR  
　　sin（π＋α）= -sinα ]57(F;#'  
M)sLF}jc  
　　cos（π＋α）= -cosα wc3|yS<k  
B~^(TuH>  
　　tan（π＋α）= tanα L503@)qKO  
*s:Ekta  
　　cot（π＋α）= cotα k+ D6  
Rk2-<*  
　　公式三： d*B _Yd  
@P/8+ ?T  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： $4 2Cl_d  
9aetD:g,  
　　sin（-α）= -sinα c@U])   
%y/hg  
　　cos（-α）= cosα N)CR-;.0  
BbE; .9  
　　tan（-α）= -tanα ]5NOYwhX  
o6#e(O  
　　cot（-α）= -cotα )]H[:  
q"Kw^Q1n  
　　公式四： CP_sZfg7  
e06Xcm|  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： $[QRDH|e  
fx/QR~SS,  
　　sin（π-α）= sinα jvB2~  
s:(7?VX.  
　　cos（π-α）= -cosα r$,}nu#  
HN*4!Y:l=3  
　　tan（π-α）= -tanα #h ( !r  
|KJybD-u  
　　cot（π-α）= -cotα , ^9Cl2=  
'w- ~t^  
　　公式五： wXU|\$gQBP  
D2] W!u6  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： |Q^)XulJK  
NT2f>!B@   
　　sin（2π-α）= -sinα :!2 F  
t.y{   
　　cos（2π-α）= cosα  fAb+lO  
Pj.}$izz  
　　tan（2π-α）= -tanα C3" [e+M>  
zlsn  
　　cot（2π-α）= -cotα ?QNC^*|  
f~zpzcbw  
　　公式六： " 4{DiC44  
+|9&AUVu  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 6_1vsw@  
!Q81d]=De  
　　sin（π/2+α）= cosα _-r.qz|G  
s:R K|[|!  
　　cos（π/2+α）= -sinα .t)O PiBf  
a0'a t}= 8  
　　tan（π/2+α）= -cotα ]C#z&g{  
$C1M.GoP  
　　cot（π/2+α）= -tanα z'2#Q.A  
eQ?* xHmA  
　　sin（π/2-α）= cosα qLh7 :NAU  
(.:"w*j1  
　　cos（π/2-α）= sinα i,Z* ]n  
q.},-  
　　tan（π/2-α）= cotα P84[+GNL|r  
lB/ 'Zv  
　　cot（π/2-α）= tanα p\)Pq?F  
quAFyx(  
　　sin（3π/2+α）= -cosα oYxApR4l  
:3!#)a26y  
　　cos（3π/2+α）= sinα G%NwBz\A  
|Erv<LZ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα xfGn&p3E)  
{ (v#Fw  
　　cot（3π/2+α）= -tanα J q!'/cR  
J2RW# `  
　　sin（3π/2-α）= -cosα C$y`;nF  
m<IL _8  
　　cos（3π/2-α）= -sinα xAdNg2=6  
<2Qe 5KGh"  
　　tan（3π/2-α）= cotα H#1Y3R  
~  q w[  
　　cot（3π/2-α）= tanα r2cZPqr|6  
(k|JG  
　　(以上k∈Z) IN R''L=  
AnsY*zH  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 P\;*02L  
UV4\B UX  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = B)@B?+  
^ a"z*N  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } (T|} u wj  
[LN.q/5d  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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