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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 !aT-nM>n  
IF"B@0CU  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. nzNVka P  
qAap>U eL  
　　1、三角函数本质： Wa@s'Y6  
EQi5V:V>1  
　　三角函数的本质来源于定义 )Y _uL 1  
4[L[q{Ox  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <]_BOr<}  
kC/x= *8%'  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 <U=ufY]c$  
BySO=G  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Hh~f^yhK  
c>gwm]N_un  
　　推导： ,= ^B *  
I\ nzWm  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 kXKIDY98!  
3XoQEc  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) m;3XX@kZ  
R,1[||k$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) }Aj3u.yQ  
RLG v;&3  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Y^Ud@ME7*  
V U& vc  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） gignl%  
I~iUEa5  
　　[1] wGi=]?/YY  
x #NX w(  
　　两角和公式 B]>ak_V5  
fV<tY2  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 6Kvcz  
|mz2 C  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  0)Q- N[Y  
$ UoXJ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB |)|lK0{  
Bw .,;4:pb  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB b>q8<u ,~  
XUJ(1>qDs  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) I4y.3w,  
x0bzISQ9V  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a4{aR%  
@nP PDG2  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ~ XoV_-`+  
}~w= %n  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) #'}SNck  
#3V/[?lC  
倍角公式 H "[xZ'Mv  
-u+&Nc-r  
　　Sin2A=2SinA•CosA KZ~[|  
g{f?67`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 EGG1}W&  
_9$Z%F!&  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） s#kJqKmT:  
L*o &WFBl  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） rg9t7LeJ  
F4r`83):m  
三倍角公式 zk9:b,mnu  
3c0u,bD  
　　 nhc2*!  
R. `S!@  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) g%R|MQ9W  
z84XQZm3T  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) j`y(5J` #  
> Jll/  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) b%nB?:'  
QD U BHI  
三倍角公式推导 4wsa|`?1  
rYRXryM@e  
　　sin3a t1*mVp4a  
jn SNKg  
　　=sin(2a+a) nX@fo\,kk  
e^ lSv]0  
　　=sin2acosa+cos2asina :b3/aI )p  
n\ O1Lej  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Y#g &c%  
{A%(0^#g  
　　=3sina-4sin³a AP5h;'`  
[:9^V]c  
　　cos3a Z'Cy`z  
Oym(}/}eW  
　　=cos(2a+a) &}AUV;~  
27dxEi  
　　=cos2acosa-sin2asina T S$!4FF  
]5{d$qP  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa NL05R@f#  
.J' |lB+  
　　=4cos³a-3cosa s n?)I &  
NTD` ;`%)  
　　sin3a=3sina-4sin³a  ''n#"IG  
O90b}c~P  
　　=4sina(3/4-sin²a) }Abz`  
x<N ^MvLEJ  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] jUpQ#AGv  
NEl[5C<  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) M| 6*sC  
uIyzAAcw~  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 3gy IK  
</=IzF$:-$  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] z?Ho;S&  
*?!\7!a}  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 5%UddJC!  
&&p]I>J?  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ^w|=R%T  
o? Ok_|N_  
　　=4cosa(cos²a-3/4) K#w 1cweZ  
(6`0(<_<  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] w|Jryx1  
3<4;E%-R  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) NB'J3b~!#  
M8Q)5#95C  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 0(4%OxSzBi  
S+f:=U'z  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 2U~>UkJ3  
kWI&1R#x  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 1jbMi  
RWtjXZ-}  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ZA~B.l/ZD  
y~Hh$;.ib  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] |o1_PB  
SF Y_r/  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) e+}u2i_8  
u=C K6z 3$  
　　上述两式相比可得 8**9_}Fss  
Tvb+vu  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) G>).4(r*  
zE+8vZg=(  
半角公式 ao?vf_ I-0  
VGrX|GgN1  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 7D!"(`KW[  
rj4ir,Td  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. `BadXX4Sf  
tJ3vuDo  
和差化积 =O9_:hrs~  
$bb(!;b  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] -th)n/^P  
Snq1 J<4   
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Gnqnivt%.v  
.x\VC|@8^  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] G /~_)iD  
htky:  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] nY[oVc_F']  
??3I/k  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) /CB+AEE  
(E1  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) \lKQ40ee  
 ?Kj4OGR  
积化和差 }f8KlW  
% 2i9(L<l  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] rn;JM+ b<  
o5 R==Pc  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] fY06z.M$  
kEuWxd~ (  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] /c7+389M!  
HS-p6PWQ  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ?7tS1'Xva  
{AqB ,  
诱导公式 ,}wX &uG  
Q!4Q,tw't}  
　　sin(-α) = -sinα =E0ZDD2  
)z7V:% 6  
　　cos(-α) = cosα xqLQ.Q9  
kHLc0n?bMK  
　　sin(π/2-α) = cosα 8(cSacU(-  
%.I<t Y  
　　cos(π/2-α) = sinα 7!z.ER  
}gV#pp]_H  
　　sin(π/2+α) = cosα 3)zwkav/  
s&8'&CF*}  
　　cos(π/2+α) = -sinα  hXl ^"&?  
yNel>N Q  
　　sin(π-α) = sinα I$s\*tT  
JHPiPuAk  
　　cos(π-α) = -cosα (`w08wd>  
DLpDC:G  
　　sin(π+α) = -sinα sQb7)V.X  
K?7641?N  
　　cos(π+α) = -cosα 'E~{ ZxG  
Ys9Dw@  
　　tanA= sinA/cosA I#NqT 2  
7Clegrz  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα V2>Es| *-  
\,_)IP  
　　tan（π/2－α）＝cotα is91\zM[  
vpW eb  
　　tan（π－α）＝－tanα #cxi# ?  
,CtX7{fDh  
　　tan（π＋α）＝tanα T2_d cDk  
%/ke:zn  
万能公式 0#4zOZiC'  
^gR@wHX,  
　　 z/J<[{9S  
@MDImh  
其它公式 :PjfFvg  
4+=AU}Pe$  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 @8bcC&j0z  
tDR$pMH 5p  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 @:w_~%p  
D_L#(Ih  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 $uXjc,muE  
?BVi6GU  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  +}b<g6C  
e,_S)]d*g  
　　对于任意非直角三角形,总有 r<@SRO~  
A9Yug< 5  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC NWB60un  
*YI,C7^]r  
　　证: a |G./P04  
w"D4\GcA  
　　A+B=π-C C3T]'/*k  
k$kmUNx  
　　tan(A+B)=tan(π-C) omw-d\T,,  
(IgfRbH8i  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) )hvX4|%  
gl~T170  
　　整理可得 2REc o2E  
>R-QX",1  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,}Z}:,X]  
RClf XY  
　　得证 ,l 0/  
3(]z)jk  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 >iS"*M  
xrs=wlJUx  
其他非重点三角函数  Av=/ h  
iV|:T/}  
　　csc(a) = 1/sin(a) <{6]{_  
7KL=IMZz  
　　sec(a) = 1/cos(a) (?Pu\f  
$m9u"jm  
　　  7D5@;XM  
(*k [.=9  
双曲函数 +#5l c\9+  
tAj wr|  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 1Ey ,?jt4  
|)`$Hf/w  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Uzm/! ~  
6phZl 8L  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) "% QK_M?3  
/6U$_  
　　公式一： $F&JtIU?  
&p\.`O)=  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： N"->   
rotReu@Z  
　　sin（2kπ＋α）= sinα q1#T'Zl  
=jZ@ Q29C\  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Hx$p  
1zm $0c  
　　tan（kπ＋α）= tanα $9iIE3  
, F[|q_,  
　　cot（kπ＋α）= cotα I RLoDXT  
/iWu=Gt~  
　　公式二： EG9}7iMH  
7s41t*u  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： EL7PKjTa>*  
oP}*Po/1h  
　　sin（π＋α）= -sinα n'y/j-!pN8  
 K 6\  
　　cos（π＋α）= -cosα 0!|Eq&}po  
h<wXc6  
　　tan（π＋α）= tanα [T 8s1o/  
en}ADcM6  
　　cot（π＋α）= cotα v4+%j`  
H#?(IjE  
　　公式三： SPzQsHGa@  
bo!e4jh=u  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： +,|^rEP  
=P')5mr3Wf  
　　sin（-α）= -sinα || V|E{FG9  
5Zy=v w  
　　cos（-α）= cosα ,g}'3C$e2  
MKmw1Wi-e  
　　tan（-α）= -tanα S-2.V+,  
{?_@>oF)\  
　　cot（-α）= -cotα 6qH;PQmu  
/?kH6]kT5  
　　公式四： Lu*d0 $  
kaP29,iU  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 5b&2h  
*G'2I_d  
　　sin（π-α）= sinα -Ad\0%5y!  
>=Hz<DGU~  
　　cos（π-α）= -cosα ?b!J&$W^  
cI$YOJ%a  
　　tan（π-α）= -tanα P)Q>N41x  
Vos e\M v_  
　　cot（π-α）= -cotα \gH|.B"  
6r9;Q'o6  
　　公式五： ( py9w;pR  
0$=+c.gV  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： tTem}TnnT  
_7A8icy)  
　　sin（2π-α）= -sinα dY#(Ntkl  
=8jt =u%1  
　　cos（2π-α）= cosα jKo|),m\  
W.<WY GB  
　　tan（2π-α）= -tanα p5tTAB32.  
2z^wEb%&$O  
　　cot（2π-α）= -cotα M3w6gS EP_  
hI E,hS8  
　　公式六： 7t Q<bp+4  
-Y3V%s%Mn  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Z4R5j?qBfB  
 ?*c6  
　　sin（π/2+α）= cosα ^oG@BGa%  
<U_l]3NyV(  
　　cos（π/2+α）= -sinα GwK2Y4W  
Y *).IlY  
　　tan（π/2+α）= -cotα }0Wa, IwqR  
0PL@j  
　　cot（π/2+α）= -tanα %fACX  
>Id4E2Y(;  
　　sin（π/2-α）= cosα l 3W97DeX  
vrNRyZ3wV  
　　cos（π/2-α）= sinα WFLac/w(  
z;b*O;8  
　　tan（π/2-α）= cotα 1X"~Sl{t  
Ay LbE1|  
　　cot（π/2-α）= tanα ?5BWmXT  
D!1=@ScId*  
　　sin（3π/2+α）= -cosα :,4ht $4  
)B}a'Yn  
　　cos（3π/2+α）= sinα n`b0QW<"M&  
D=ug!.)F  
　　tan（3π/2+α）= -cotα OE(D@&>  
Va1A;G^[P  
　　cot（3π/2+α）= -tanα hW` hMu  
@Uv~6 N  
　　sin（3π/2-α）= -cosα b4e CQ)1@  
8l/&3=M! (  
　　cos（3π/2-α）= -sinα :S>+-jUJ  
m#s`3iwA  
　　tan（3π/2-α）= cotα KS[Z9f01ls  
Xy` r7  
　　cot（3π/2-α）= tanα CC;@Y yP  
u#B"eV:B  
　　(以上k∈Z) !P@ G p  
JUf5 5  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 YG9$,(  
b+Do[#K5  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = \SVwX>iwg$  
$s5ljlxs  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } JQ\*l;nkB  
o_(I~]  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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