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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Jbiz.Lt  
/HDRh  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. -bzd"  
ziKJ]Yh7  
　　1、三角函数本质： y *klV5B4  
b.2q`Znf  
　　三角函数的本质来源于定义 (ma nh@Xy  
i)uv 5~85  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 f(*Ldn  
: ;e ]  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 EA(L2W'  
bhq~4)Y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Ir* kwNP  
G!|`1qQ:  
　　推导： Tm3i>GR  
= 2Bta~c  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 m:Kg\pR3  
C;2e P0-1  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) qd;aM|E{7  
C~)P/h{0  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) a hB As  
4C Vb 4n  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 T#3L?! NmT  
jR[S0<   
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 89e^4 5G  
+(($K| @<  
　　[1] zG1->^Nja  
lfXvTt*t_  
　　两角和公式 WqJ1|U*::  
% &t:l)wDR  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB QQdJV%B3  
rZQAbK<[;  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  4 2AN|Xp  
8P8$kkN  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB zh5b W  
PjAxciD  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB @P9,B@IU_  
|O+`T`Rb  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) nzf\sM*p  
0)Ry{KDn  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) rRe\_;;  
sl|PJS6Ydj  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  sL)FtXVG%  
7 08%.Q  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ^ODCs>1|U  
s}D$'"  
倍角公式 .h+tG   
)aK%4_W  
　　Sin2A=2SinA•CosA &cH;Q}7ALI  
:I` ?8[L  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 B@cf.1p  
:3bb@{  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） <{-rh I  
I0Me= 2   
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ::&"/y3G.  
~vjr<<7uW  
三倍角公式 Ru!'$@`  
Fs zGli  
　　 |u0}f;Z?  
bz>tba  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) * Z$zO  
_ 6~o>  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 2#>GwvhAr  
5RREy2i H  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) txiX"zg(I  
LYXatC-*F  
三倍角公式推导 L^ C:W W  
9zA.[1s?  
　　sin3a -K'Y ?4  
Y5?zuU*x6  
　　=sin(2a+a) Z,bsYa  
C v>=O,o  
　　=sin2acosa+cos2asina _q'sEd%  
?m?3Q3VeV  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina rJ$ V|5_Z  
d#uKiPb  
　　=3sina-4sin³a NZ5,G iJ  
~C9-*@gtR3  
　　cos3a x=k" QW_  
Y(\< [20  
　　=cos(2a+a) vy9B&>F  
s%-fnhXi,  
　　=cos2acosa-sin2asina ~3wATB2  
?00,.ly;=  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ;w AO-~7X  
Lq|dm;Y~u  
　　=4cos³a-3cosa NA @ \fi_  
a8K7jBfOw  
　　sin3a=3sina-4sin³a &[>,h  
lI?;*[@?1  
　　=4sina(3/4-sin²a) :ga! &e6k  
odso48l+  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] J1S+TB~bx  
DMf]GM+p  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) T?-gk'@  
>NE,Q5nv  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) eDF\~|`m  
fS&Tt*  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] qKo>T?[Zx  
/@x~Y/+  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) /Bjg;  
V_R=q:~f  
　　cos3a=4cos³a-3cosa xHW?9L`:  
-L] R|@Ci  
　　=4cosa(cos²a-3/4) lmZLH1tF  
r@Y7D/sHp  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ND>Gv$^  
e8.G%hz  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) _)pO7?I,  
L7_o5gc  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) u\ `(i  
xa/ 3w_ .  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} lT.H%@8 $  
3Sv1H16}  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 5::',F;$  
M<6+1qD=[:  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =jS^gajCQ  
NL(G %  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 0?4PQ-6v  
Fis0@,2  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) fDGYt[xj  
3&ba"( W^  
　　上述两式相比可得 wU2 !N$q  
B8"j 7)  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) w(Vr!%l9l  
VVWZ(-d,@  
半角公式 I/9<`%  
wT}~\f:R  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); +9Kq<yNps  
d<]syn]8  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. b6vZZkE  
p2zq<:%8`  
和差化积 o,#?*S  
F$dgrE\  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] vwh| `  
E;LIBg~k_  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -&iybC_l{d  
U-f/^ |  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] >fbVffg  
lE/dm[ImH  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] km~epQ-  
lG'm}ee  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) -!+2|t7  
vm:^-LGMtz  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) L -dtGCx  
p~h4 ]hoK  
积化和差 GpRtQv$b  
P=ES(~:ca  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] q7@>cw"  
:-P%ZH3<vJ  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] $&I^c"zr  
3Xzvk-E9AF  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 5J %6nA!  
'Pde`Q#-Be  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] A >gmZuMy  
qU#d}s?so  
诱导公式 MtylR$  
z rbqA&J  
　　sin(-α) = -sinα 9JNAt;@C  
e#J?g])  
　　cos(-α) = cosα UMY! vli  
*K6UB  
　　sin(π/2-α) = cosα ELFLx ^1  
|asG3SKI'  
　　cos(π/2-α) = sinα XLbzl  
G\'u*gB  
　　sin(π/2+α) = cosα X'^fL7/KH  
 :C\!"  
　　cos(π/2+α) = -sinα ~PISzOHZ[&  
s]qT1I>m~  
　　sin(π-α) = sinα TFH`p>0  
jf6yI:N5  
　　cos(π-α) = -cosα W8KJeKuS-  
fU+P="  
　　sin(π+α) = -sinα J eJqwp|  
&."0* Lb  
　　cos(π+α) = -cosα qbz(tb3  
 9cU2)$]'  
　　tanA= sinA/cosA $dHP!}?  
<ZH -]E(  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα yDzD$FJqc  
K\nPURnN  
　　tan（π/2－α）＝cotα `| WV7qNg  
tJ_8q~8_Z  
　　tan（π－α）＝－tanα F=Q0P9{uy  
ES $9:'9  
　　tan（π＋α）＝tanα u<`a~i~&y  
J;>T_(<  
万能公式 :m}_Tcr']e  
ObR<I[e  
　　 +Cn1e^  
~^e$=g  
其它公式 y=_W,i2  
jI,AeUG9c  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 JO_'C%>  
c%*sn'B   
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 1W~54_N+p  
3;7Ta+i4  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 PFknK99H~  
mqeF zFc[  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 <6u 2cIo[  
5 _te&ns:>  
　　对于任意非直角三角形,总有 jz7q\=  
eS A~swk,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC pKrT-IXxu  
M-g'J[  
　　证: P6#6 I8$  
V-52K.xa @  
　　A+B=π-C vKWU?Wt$w  
\yF[.S*zo%  
　　tan(A+B)=tan(π-C) X{h@TsJS  
|OL_'GF;  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)  'sf6RX3$  
MGoQDjsP  
　　整理可得 W5N$kYYSfy  
s7LQR`  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC {;X(fV4Z  
o &7 1 rPI  
　　得证 n$]}$,s#  
UwvTq(inHP  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 6(#?&3&|w  
8z \fG  
其他非重点三角函数 z<aH2/'<  
D.<zsnP  
　　csc(a) = 1/sin(a) NPYG~$q{\  
>t6!%BP  
　　sec(a) = 1/cos(a) ,W5!##  
M1!GP,UB  
　　 =ShSXiKp  
`'Vep/9ww  
双曲函数  {%,[J&  
si$J8#|>`  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 R,?I=Z  
GI*%z@xCZ(  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 !j@{F: e  
Hq!eNgqQ  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) f 4z,e C  
60isQ5'2  
　　公式一： LFYQeQJ{'M  
}217Z[[ \  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： "Q$xR7:  
:" 7 |  
　　sin（2kπ＋α）= sinα b8jgn{rrbd  
%toBSk  
　　cos（2kπ＋α）= cosα I~7aimMa  
5",R|A}  
　　tan（kπ＋α）= tanα ?N7If'  
 tC0GGS%s  
　　cot（kπ＋α）= cotα  %=8vuq  
^,ciJnaVD  
　　公式二： +at=ijr  
yf %)9h_  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： MFS`X*FO  
Qc~A)qEBNl  
　　sin（π＋α）= -sinα L[5@C16  
U!3:(  
　　cos（π＋α）= -cosα 6}7+7F  
op<,<pXo  
　　tan（π＋α）= tanα _ Bg74d  
SPgUK<AZq  
　　cot（π＋α）= cotα z[p&b52*_  
wo8Y/{  
　　公式三： ZGS|  
]SVn8CR{  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： oBz 42Qb,  
Hd}Li X@  
　　sin（-α）= -sinα 9_k7`oI  
dgxvG:L  
　　cos（-α）= cosα wHd$eX  
smtomf  
　　tan（-α）= -tanα ^96EO&a  
i$#bZ^u}  
　　cot（-α）= -cotα VGBX?(g>@  
~JwLN=0\V  
　　公式四： &N_:`Zz!  
}GGP+ Y@  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： s> Gf],9%  
,){4# [Faj  
　　sin（π-α）= sinα &%&P@,5W  
'(K`i80T7e  
　　cos（π-α）= -cosα v}, aV8$_  
;b )AU ?  
　　tan（π-α）= -tanα KuM /L"84  
fnAF  
　　cot（π-α）= -cotα a~m<4yi  
'TMvH\Gle  
　　公式五： ]@(K1:p  
 kvZh^37L  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： zc gCP) R  
Fq3!WSWLr  
　　sin（2π-α）= -sinα ^eGXo[6|  
3_2Y3gl"  
　　cos（2π-α）= cosα \b /J5O?l]  
lY0M9BX  
　　tan（2π-α）= -tanα r q8y4K  
_tzAef  
　　cot（2π-α）= -cotα Z<s_J0V"-  
`fNw$oH  
　　公式六： U^: ?Zg  
0D^e%?*nj1  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： -y.2^lZu  
}0%EQ}y"  
　　sin（π/2+α）= cosα K_6Id.  
HI/,L!o D  
　　cos（π/2+α）= -sinα HIq)H@C[  
A>vtif"N  
　　tan（π/2+α）= -cotα 6%Q(/,@,uP  
at0$D=  
　　cot（π/2+α）= -tanα L&UWn%P.O  
J~y~<kz  
　　sin（π/2-α）= cosα n.^UDI{%T  
(FLB\ ,  
　　cos（π/2-α）= sinα 9~1 v};x  
7 %H \EmaE  
　　tan（π/2-α）= cotα AC% G>_|  
D qdB Eg  
　　cot（π/2-α）= tanα ' +e]+2  
Tk2 Ql  
　　sin（3π/2+α）= -cosα FzF\p'  
a\88b`m#Kf  
　　cos（3π/2+α）= sinα f ]TM^  
-N~?;w,UI  
　　tan（3π/2+α）= -cotα \4BRTi  
g nIjsi~q  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 2U!X(VR  
N a4ChW   
　　sin（3π/2-α）= -cosα h}?e$G)9  
R x^s$  
　　cos（3π/2-α）= -sinα W;:EVZ  
0@iX6B/Y  
　　tan（3π/2-α）= cotα m-}-ivA N  
=dahIl4b`  
　　cot（3π/2-α）= tanα N9 ds+v*@  
}+Z]ebJ  
　　(以上k∈Z) ?-@!,UIj  
o{!CDJjLT  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Ns .kJKnT  
!T[5@?ZU  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 2!zF:&2C  
z Z](f  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } D E z&-d+  
-#+;MND  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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