三角函数内容规律 .;[1S)wh7
Y4~^X}-1
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 7ug(~J
Ns+poj
1、三角函数本质: Rxg5]s{L
L/"Du
三角函数的本质来源于定义 I1@j-L.`h
/X<\={
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 W,bwan>5
W#e%"niGi
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 }9NIFiK
^bhR^RuY
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: YU~CI%Y}
(
EC*/(e
推导: _XKE)XI
` >e ud,
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 |-KSIP!ob
$
?|5Y
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) mFaH>D*i6
Z'#~9F
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ' -uF
*
SMgo'
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 eu@aF5
I-7SvEU~
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ]nR4m$vDY_
+
$XDZ_j
[1] R:2r,OR
I>T.mW
两角和公式 fZ@9;;
z#S*?RdvS
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB X[Ki Qo;U
/`CUq|Jr
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?Z zKF*Skc
dcDI{Sm
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB %GAr
^^)m
o-FFL'.5F
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Kp?'vQhLc
"$7L!2
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) uI!f6bKx
ovD5; 'A
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) :Q) M
pEbt"/ ;>
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) {Nhq=#_p9
V;vTtK75w
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) =nf}Daa
Na|w^<M3
倍角公式 )=Bw#h}}
w]!-5YW
Sin2A=2SinA•CosA n:{)9ZF+"8
3(MSNSM5P
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ZF3hD'
,h9BG$X
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) xUpp2~
a/8g:kS
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) sYWE7Ju
<l?]D ?
三倍角公式 x\p[bU
J+F.| (BC
5R&s
_o0
w 8_c|
A&
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) a#%4Qu}
^>XJs/bR
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) p~|w
[;'cz
3. 72X#dX
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ?j5B2`QA
R(hLlI}p
三倍角公式推导 V<GQ8_jPk
X?83(X~'
sin3a 7XYX?0^Lz
: 326
=sin(2a+a) ,_Z1@Qk^
%G=S1"h;
=sin2acosa+cos2asina zAX>:]
% {`)n>\
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ShF'
'3b[>
=3sina-4sin³a bTcA
|_R
aKCI{=C<2
cos3a 0?+M&
VV
h3V *"a
=cos(2a+a)
CI;~N8
yfi7 in
=cos2acosa-sin2asina OD_n2eik
Nb]^xt
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa m?H[lK1S
px-: 6kF
=4cos³a-3cosa 316r
PfKc/
c&"eYLZU
sin3a=3sina-4sin³a )S bS1^
2?)D}V I
=4sina(3/4-sin²a) 2:Ds')
Q@ Q]1 ^L
=4sina[(√3/2)²-sin²a] V9CTVm8/e
/~D?#H
=4sina(sin²60°-sin²a) PUUBjkf`E
@U#b4 5n
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) b:+SY6we
L4i3.5q?t
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ?|
Kze
Wsg.YgEU
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 0[S]7'^6k
I[1"l(#N
cos3a=4cos³a-3cosa S!Ad+2ti%
&q~)-9l^
=4cosa(cos²a-3/4) ?MbCdu
yDf&mrU"b
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Ig"
o\
XW COv;!D
=4cosa(cos²a-cos²30°) p'TxS)
LVEf?=]
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Z1q]#&
O7OW=wT
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} }(8Y`]S
CS$x-ph\C
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) /wQ'dhy
`2F!6*0
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] k?cZQ9t
\A"/TT{@
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] zp3WfS*/Op
t$)*k}N3
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) >q\m6J"/:
#'{oCTg
上述两式相比可得 dZY%"\/
K,%eKjxO5
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ,_]bid1GV
vZ$@Vv(>
半角公式 '9b#bp
DA_:U8:
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); kT5EmiQ
&BpIk;JBm
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. QwZ]2EB<l
u|Ra9sJ
和差化积 $r`SNGKv
H5p
A0w*
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <-OH*2M
.0wh\^Km&
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] x`x\\k5
P[VI(W#O
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <m/e
B5Cs#&G1w
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4ht]s,
`5\^}Oe
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) $ES|]5p
rxgIi-!a
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
N;N[YB-
@g P+~a
积化和差 %4#`}nKL
/[wdiz
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] aJHn|*Dm
`_r{y
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] T$i/[
I8
z8
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] `v* 6\u
@.'L<<uO
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %10eD;a
#*#fT}
h
诱导公式 h]b%4w+U
#)Bo*D_U
sin(-α) = -sinα J|kp,ade
WYDC~Q
cos(-α) = cosα )hGrm2sCA
iLe l<>'
sin(π/2-α) = cosα ,tdmz? c4
YNMw0r
cos(π/2-α) = sinα iOdy4
`AXH1\U=
sin(π/2+α) = cosα >=LiK]
$
c`B
cos(π/2+α) = -sinα &QNED @%
qAZgt<(
sin(π-α) = sinα /ATp
]~"
@O#&KK<kJ
cos(π-α) = -cosα
JLdiqO~_
#h
T%dcz
sin(π+α) = -sinα yYXf\-
G8;u
^ i
cos(π+α) = -cosα <.{c~X
cTCJK;Hf
tanA= sinA/cosA S~(?#w%
CH[KcF`;j
tan(π/2+α)=-cotα ]h>1+;Ku
B}e=MN<N
tan(π/2-α)=cotα eU?H>v-r
BDI9Y+
tan(π-α)=-tanα N2yK
.L_e&7
tan(π+α)=tanα lr\6#ex
j? mrr>
万能公式 r)a~nCmz
Nu}ZpH#,
}d"vC=C
A,gP*w
其它公式 }68w<
LgDqF0Eb
(sinα)^2+(cosα)^2=1 +"H<y
<]aS - i
1+(tanα)^2=(secα)^2 Uwfe9;& [f
4-
IVC
1+(cotα)^2=(cscα)^2 ]5.?.WE/8
ul%N66
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 2G} [yM
WrFd>cxzrH
对于任意非直角三角形,总有 h9M^R=pN
GsG(i.{v
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
`/dXEV>
sLh
v|Hz
证: Sbll_vdY
.o 57=;=
A+B=π-C py!o<fY4
)
_
tan(A+B)=tan(π-C) %m994AR3
T'z?VR
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) y}6#b/B:
S@v}t.}t
整理可得 WB00A,z|
\YKzkr_
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC O*PN~T*
* uIV6)#
得证 \4/p?}@~
@["Epg
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 VmGaw_jj
SISP~J
其他非重点三角函数 nlF!A WJ
)"Q;#sxi
csc(a) = 1/sin(a) <Em0W]
{Ht4IqJ
sec(a) = 1/cos(a) ;mu2guA
} e($/@k
,sh/.Z/Fw
{jK3tR(
双曲函数 /L\Q
)0^P
C0F^@k]"
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 T^>'7])
WgJ?yY
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 _</1V
NV
[7HA7f_
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) </,7H:+Xr
N4nu*G6$
公式一: x.cI!$/z
]"9Q2hj,v=
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: "XjsW}aAs
N=L{muPxhJ
sin(2kπ+α)= sinα uw,EZg_E
o]S7g&42
cos(2kπ+α)= cosα P(8,WAi
2stoemAtp
tan(kπ+α)= tanα fY^l a*f
-u_fA_
cot(kπ+α)= cotα -Jv Fp!'
mb7B @
\//
公式二: Uh=GaWVWr
n{w!L 3
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: EeZkP%{p
a}kIYC
sin(π+α)= -sinα 07c3h
#\`p'Cj)W
cos(π+α)= -cosα gt^7qr&E
!e=gNW?
tan(π+α)= tanα :J+uP;;
t>k:QoZ4
cot(π+α)= cotα ><-y*G=+
?X6x0CQ]v
公式三: p =N=Y{<
0mme9Yk
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: |;D.x}nL&j
4=Q\0Vkb4?
sin(-α)= -sinα y_y+iM4av
d` NY1o
cos(-α)= cosα p$_+1zIyi
Q[4e'}(
tan(-α)= -tanα jx$NMi
Qa;<#[7
cot(-α)= -cotα -&TXNChp?i
[F- 0u j
公式四: U;Jk#@sX
q9+\ M.
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: >wL'Gx
CzZMSrYg?
sin(π-α)= sinα
>Cg|iR.
)
VF[SgGC
cos(π-α)= -cosα Q*]yL
cJ/>_Q|}
tan(π-α)= -tanα {pk4/
s4qAc-a
cot(π-α)= -cotα bng28 ee
w(ybGf
公式五: S=QT}Gz
/'H,v+k
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: fV3<rQ[2D
oSH%;
sin(2π-α)= -sinα TR>MkN=r.
rkuAERA
cos(2π-α)= cosα $yL}_`pI
@`*Go)[k
tan(2π-α)= -tanα :rbX@A
sQx<?zN
cot(2π-α)= -cotα =i{@fQ
FZp#Dp`[
公式六: #y?wuhE,
^98eXK
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: o.VqORqF`
nY<YJFV)oc
sin(π/2+α)= cosα >YK'*vil
zb\_.WVb
cos(π/2+α)= -sinα hQ5{O{~
6<KnK,m
tan(π/2+α)= -cotα ^c{LfE0,G
:dO]O~
cot(π/2+α)= -tanα qB >,9+\
F'npRC%k
sin(π/2-α)= cosα ?IWv }t
*H>Xk(q
cos(π/2-α)= sinα wL'yI@~L
%P)/6zl
tan(π/2-α)= cotα J3<b#%
i+/j(U
cot(π/2-α)= tanα q2U76KA
ib3p kF
sin(3π/2+α)= -cosα d]ccs6h?
q)B@<{TP
cos(3π/2+α)= sinα h!&1$yap3
e09]
tan(3π/2+α)= -cotα $S]q5*
WQ=g$X'\
cot(3π/2+α)= -tanα T+x*6nC
cr70g)M
sin(3π/2-α)= -cosα :fn6G>7{
hxn36_M-Fm
cos(3π/2-α)= -sinα ;WkK E
7^J;Lha"7
tan(3π/2-α)= cotα Sz<:9-
(?:@F9cv>
cot(3π/2-α)= tanα 6YVTiH&
S"P$Vf{x.K
(以上k∈Z) HLT> %Z8
+'2Kb8>
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 }3UY-
%<a28.
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = -Te HKG
;X&el8@K
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } P-us+?3>
l
l]q6
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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