日历

2025 - 6
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«» 2025 - 6 «»

存 档

日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 .;[1S)wh7  
Y4~^X}-1  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 7ug(~J  
Ns+poj  
  1、三角函数本质: Rxg5]s{L  
L/"Du  
  三角函数的本质来源于定义 I1@j-L.`h  
/X<\={  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 W,bwan>5  
W#e%"niGi  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 }9NIFiK  
^bhR^RuY  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: YU~CI%Y}  
( EC*/(e  
  推导: _XKE)XI  
` >eud,  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 |-KSIP!ob  
$ ?|5 Y  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) mFaH>D*i6  
Z'#~9F   
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ' -uF  
* SMgo'  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 eu@aF5  
I-7SvEU~  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ]nR4m$vDY_  
+ $XDZ_j  
  [1] R:2r,OR  
I >T.mW  
  两角和公式 fZ@9;;  
z#S*?RdvS  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB X[KiQo;U  
/`CUq|Jr  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ?Z zKF*Skc  
dcDI{Sm  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB %GAr ^^)m  
o-FFL'.5F  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Kp?'vQhLc  
"$7L!2  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) uI!f6bKx  
ovD5; 'A  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) :Q) M  
pEbt"/ ;>  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  {Nhq=#_p9  
V;vTtK75w  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) =nf}D aa  
Na|w^<M3  
倍角公式 )=Bw#h}}  
w]!-5YW  
  Sin2A=2SinA•CosA n:{)9ZF+"8  
3(MSNSM5P  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ZF3h D'  
,h9 BG$X  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) xUpp2~  
a/8 g:kS  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) sYWE7Ju  
<l?]D ?  
三倍角公式 x\p[bU  
J+F.| (BC  
   5R&s _o0  
w 8_c| A&  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) a#%4Qu}  
^>XJs/bR  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) p~|w [;'cz  
3. 72X#dX  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ?j5B2`QA  
R(hLlI}p  
三倍角公式推导 V<GQ8_jPk  
X?83(X~'  
  sin3a 7XYX?0^Lz  
: 326  
  =sin(2a+a) ,_Z1@Qk^  
%G =S1"h;  
  =sin2acosa+cos2asina zA X>:]  
% {`)n>\  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina  ShF '  
'3b[>  
  =3sina-4sin³a b TcA |_R  
aKCI{=C<2  
  cos3a 0 ?+M& VV  
h3V *"a  
  =cos(2a+a) CI;~N8  
yfi7 in  
  =cos2acosa-sin2asina OD_n2eik  
Nb ]^xt  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa m?H[lK1S  
px-: 6kF  
  =4cos³a-3cosa 316r PfKc/  
c&"eYLZU  
  sin3a=3sina-4sin³a )S bS1^  
2?)D}V I  
  =4sina(3/4-sin²a) 2:Ds ')  
Q@Q]1 ^L  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] V9CTVm8/e  
/~D?#H  
  =4sina(sin²60°-sin²a) PUUBjkf`E  
@U#b4 5n  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) b:+SY6we  
L4i3.5q?t  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ?| Kze  
Wsg.YgEU  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 0[S]7'^6k  
I[1"l(#N  
  cos3a=4cos³a-3cosa S!Ad+2ti%  
&q~)-9l^  
  =4cosa(cos²a-3/4) ?MbCdu  
yDf&mrU"b  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] Ig" o\  
XW COv;!D  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) p'TxS)  
LVEf?=]  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Z1q ]#&  
O7OW=wT  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} }(8Y`]S  
CS$x-ph\C  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) /wQ'dhy  
`2F! 6*0  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] k?cZQ9t  
\A"/TT{@  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] zp3WfS*/Op  
t$)*k }N3  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) >q\m6J"/:  
#'{oCTg  
  上述两式相比可得 dZY%"\/  
K,%eKjxO5  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ,_]bid1GV  
vZ$@Vv(>  
半角公式 '9b#bp   
DA_:U8:  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); kT5EmiQ  
&BpIk;JBm  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. QwZ]2EB<l  
u|Ra9sJ   
和差化积 $r`SNGKv  
H5p A0w*  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <-OH*2M  
.0wh\^Km&  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] x`x\\k5  
P[VI(W#O  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <m/e  
B5Cs#&G1w  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4ht]s,  
`5\^}Oe  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) $ES|]5p  
rxgIi-!a  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) N;N[YB-  
@g P+~a  
积化和差 %4#`}nKL  
/[wd iz  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] aJHn|*Dm  
`_r{y  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] T$i/[  
I8 z8  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] `v* 6 \u  
@.'L<<uO  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %10eD;a  
#*#fT} h  
诱导公式 h]b%4w+U  
#)Bo*D_U  
  sin(-α) = -sinα J|kp,ade  
WYDC~Q  
  cos(-α) = cosα )hGrm2sCA  
iLel<>'  
  sin(π/2-α) = cosα ,tdmz? c4  
YNMw0r  
  cos(π/2-α) = sinα iOdy4  
`A XH1\U=  
  sin(π/2+α) = cosα >=L iK]  
$  c`B  
  cos(π/2+α) = -sinα &QNED @%  
qAZgt<(  
  sin(π-α) = sinα /ATp ]~"  
@O#&KK<kJ  
  cos(π-α) = -cosα  JLdiqO~_  
#h T%dcz  
  sin(π+α) = -sinα yYXf\-  
G8;u ^ i  
  cos(π+α) = -cosα <.{c~X  
cTCJK;Hf  
  tanA= sinA/cosA S~(?#w%  
CH[KcF`;j  
  tan(π/2+α)=-cotα ]h>1+;Ku  
B}e=MN<N  
  tan(π/2-α)=cotα eU?H>v-r  
BDI9Y+  
  tan(π-α)=-tanα N2yK  
.L_e&7   
  tan(π+α)=tanα lr\6#ex  
j? mr r>  
万能公式 r)a~ nCmz  
Nu} ZpH#,  
   }d"vC=C  
A,gP*w  
其它公式 }68w<  
LgDqF0Eb  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 +"H< y  
<] aS - i  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 Uwfe9;& [f  
 4- IVC  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 ]5.?.WE/8  
ul% N66  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 2G} [yM  
WrFd>cxzrH  
  对于任意非直角三角形,总有 h9M^R=pN  
GsG(i.{v  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `/dXEV>  
sLh v|Hz  
  证: Sbll_vdY  
.o57=;=  
  A+B=π-C py!o<fY4  
) _   
  tan(A+B)=tan(π-C) %m994AR3  
T'z?VR  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) y}6#b/B:  
S@v}t.}t  
  整理可得 WB00A,z|  
\YKzkr_  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC O*PN~T*  
*uIV6)#  
  得证 \4/p?}@~  
@["Epg  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 VmGaw_jj  
SISP~J  
其他非重点三角函数 nlF!A WJ  
)"Q;#sxi  
  csc(a) = 1/sin(a) <Em0W]  
{Ht4IqJ  
  sec(a) = 1/cos(a) ;mu2guA  
} e($/@k  
   ,sh/.Z/Fw  
{jK3tR(  
双曲函数 /L\Q )0^P  
C0F^@k]"  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 T^ >'7])  
WgJ?yY  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 _</1V NV  
[7HA7f_  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) </,7H:+X r  
N4nu*G6$  
  公式一: x.cI!$/z  
]"9Q2hj,v=  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: "XjsW}aAs  
N=L{muPxhJ  
  sin(2kπ+α)= sinα uw,EZg_E  
o]S7g &42  
  cos(2kπ+α)= cosα P(8,WA i  
2stoemAtp  
  tan(kπ+α)= tanα fY^la*f  
-u_fA_  
  cot(kπ+α)= cotα -Jv Fp!'  
mb7B @ \//  
  公式二: Uh=GaWVWr  
n{w!L3  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: EeZkP%{p  
a}kIYC  
  sin(π+α)= -sinα 07c3h  
#\`p'Cj)W  
  cos(π+α)= -cosα gt^7qr&E  
!e=gN W?  
  tan(π+α)= tanα :J+uP;;  
t>k:QoZ 4  
  cot(π+α)= cotα ><-y*G=+  
?X6x0CQ]v  
  公式三: p=N=Y{<  
0mme9Yk  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: |;D.x}nL&j  
4=Q\0Vkb4?  
  sin(-α)= -sinα y_y+iM4av  
d` NY1o  
  cos(-α)= cosα p$_+1zIyi  
Q[4e'}(  
  tan(-α)= -tanα  jx$NMi  
Qa;<#[7  
  cot(-α)= -cotα -&TXNChp?i  
[F- 0uj  
  公式四: U;Jk#@sX  
q9+\ M.  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: >wL'Gx  
CzZMSrYg?  
  sin(π-α)= sinα  >Cg|iR.  
) VF[SgGC  
  cos(π-α)= -cosα Q*]yL  
cJ/>_Q|}  
  tan(π-α)= -tanα {pk4/  
s4qAc-a  
  cot(π-α)= -cotα bng28 ee  
w(ybGf  
  公式五: S=QT}Gz  
/'H,v+k  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: fV3<rQ[2D  
oSH%;  
  sin(2π-α)= -sinα TR>MkN=r.  
rkuAE RA  
  cos(2π-α)= cosα $yL}_`pI  
@`*Go)[k  
  tan(2π-α)= -tanα :rbX@A  
sQx<?zN  
  cot(2π-α)= -cotα  =i{@fQ  
FZp#Dp`[  
  公式六: #y?wuhE,  
^ 98eXK  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: o.VqORqF`  
nY<YJFV)oc  
  sin(π/2+α)= cosα >YK'*vil  
zb \_. WVb  
  cos(π/2+α)= -sinα hQ5{O{~  
6<KnK,m  
  tan(π/2+α)= -cotα ^c{LfE0,G  
:dO]O~  
  cot(π/2+α)= -tanα qB >,9+\  
F'npRC%k  
  sin(π/2-α)= cosα ?IWv }t  
*H>Xk(q  
  cos(π/2-α)= sinα wL'yI@~L  
%P)/6zl  
  tan(π/2-α)= cotα J3<b#%  
i+/j(U  
  cot(π/2-α)= tanα q2U76KA  
ib3p kF  
  sin(3π/2+α)= -cosα d]ccs6h?  
q)B@<{TP  
  cos(3π/2+α)= sinα h!&1$yap3  
e09]  
  tan(3π/2+α)= -cotα $S]q5*  
WQ=g$X'\  
  cot(3π/2+α)= -tanα T+x*6nC  
cr70g)M  
  sin(3π/2-α)= -cosα :fn6G>7{  
hxn36_M-Fm  
  cos(3π/2-α)= -sinα ;WkK E  
7^J;Lha"7  
  tan(3π/2-α)= cotα  Sz< :9-  
(?:@F9cv>  
  cot(3π/2-α)= tanα 6YVTiH&  
S"P$Vf{x.K  
  (以上k∈Z) HLT> %Z8  
+'2Kb8>  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 }3UY-  
%<a28.  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = -TeHKG  
;X&el8@K  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } P-us+?3>  
l l]q6  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
类别: 收藏 |  评论(0) |  浏览(16541) |  收藏